20个简单易操作的科学小实验

1.自制火山爆发

材料:

小苏打、醋、红色食物色素、洗碗液、塑料瓶。

步骤:

在塑料瓶中放入几勺小苏打,加入几滴红色食物色素,然后倒入一些洗碗液。迅速倒入醋,观察“火山爆发”的现象。

原理:

小苏打与醋反应产生二氧化碳气体,使混合物冒泡并溢出瓶口,模拟火山爆发的情景。

2.静电实验

材料:

气球、纸片或头发。

步骤:

吹起一个气球并系紧,用气球摩擦头发或毛衣。然后将气球靠近纸片或头发,观察它们被气球吸引的现象。

原理:

摩擦使气球带上静电,静电能够吸引轻小物体。

3.水的折射实验

材料:

透明玻璃杯、水、铅笔。

步骤:

在玻璃杯中倒入水,将铅笔斜插入水中,观察铅笔在水面处发生弯曲的现象。

原理:

光从一种介质进入另一种介质时,会发生折射,导致物体看起来位置发生偏移。

4.自制彩虹

材料:

阳光、透明玻璃杯、水。

步骤:

在阳光充足的地方,将玻璃杯装满水放在阳光下。调整角度,直到阳光通过水杯在地面或墙上形成彩虹。

原理:

光的折射和反射共同作用,形成了彩虹的色带。

5.浮沉子实验

材料:

小药瓶、橡皮泥、水、大烧杯。

步骤:

在小药瓶中装入适量的水,用橡皮泥封住瓶口,使其能刚好能在大烧杯的水中竖直地浮起。通过挤压药瓶,观察其在水中的浮沉情况。

原理:

通过改变小药瓶的重力来实现浮沉,理解物体浮沉的条件。

6.熔岩灯实验

材料:

瓶子、泡腾片、食用色素(或彩色墨水)、食用油、光源(如手机或手电筒)。

步骤:

向瓶子里加入水和食用色素,然后倒入食用油,让水油自行分层。接着放入一片泡腾片,并在瓶子底部放置光源。泡腾片会产生气泡,使带色的水在油中上下浮动,形成类似熔岩灯的效果。

原理:

含有有机酸和碱性物质,如碳酸氢钠。当泡腾片与水接触时,这些成分发生酸碱中和反应,释放出大量的二氧化碳气体。这种化学反应是泡腾片中含有的泡腾崩解剂的作用,它促进了二氧化碳气体的产生,使得泡腾片迅速崩解并分散溶解到水中。

7.魔力悬浮球实验

材料:

杯子、吸管、乒乓球。

步骤:

将乒乓球放入杯子中,然后用吸管向乒乓球上方吹气,观察乒乓球悬浮跳动的现象。

原理:

流速越快,压强越小。吹气时,乒乓球上方的压强变小,因此乒乓球会向上跳起。

8.自制简易电话

材料:

两个纸杯、线、胶带、剪刀。

步骤:

将线的两端分别穿入两个纸杯的底部,并用胶带固定。拉紧线后,你和你的朋友就可以分别拿着一个纸杯,通过拉紧的线进行对话了。

原理:

声音的产生是由于物体的振动,声音是物质振动产生的波动,需要靠介质传播才能听到。纸杯传话筒是固体声波震动传递原理,当声源在传声筒的一端发生震荡时,纸杯的物理结构能有效地将声音聚集并且减少声音的扩散,经过中间的绳子最后传进另一端的纸杯中。

9.简易净水实验

材料:

沙子、水、纸巾、两个杯子。

步骤:

在一个杯子中倒入浑浊的水(可以加入泥土或颜料制造浑浊效果),然后将纸巾对折,一端放入浑浊水的杯子中,另一端放入空杯子中。一段时间后,你会发现空杯子中的水变得相对清澈。

原理:

沙子的颗粒细小且具有较大的表面积,可以有效地截留悬浮物、微生物和有机物等污染物。同时,沙子的表面也具有一定的吸附能力,可以吸附一部分溶解性污染物,如重金属离子和有机化合物。

10.会跳舞的米粒

材料:

一个浅盘、一些米粒、一个音响或扬声器。

步骤:

将米粒均匀撒在浅盘中,然后播放音乐。随着音乐的节奏,米粒会开始“跳舞”。

原理:

声音是由物体的振动产生的,振动会引起周围空气的振动,进而传播到米粒上,使其跳动。

11.彩虹牛奶实验

材料:

牛奶、盘子、食用色素、洗洁精。

步骤:

在盘子里倒入牛奶,然后在牛奶表面滴入几滴不同颜色的食用色素。接着,用棉签或吸管蘸取洗洁精,并轻轻点在色素上。你会看到色素在牛奶中迅速扩散,形成美丽的彩虹图案。

原理:

物理学中的表面张力和光的折射与散射。首先,牛奶中的脂肪和蛋白质会形成一层薄膜,这层薄膜的表面张力使得牛奶表面保持平整。当我们在牛奶表面喷洒洗洁精水时,洗洁精会破坏这层薄膜的表面张力,导致牛奶表面形成小涟漪。同时,不同颜色的食用色素会随着涟漪的扩散而形成彩虹色的图案。其次,彩虹的形成还涉及到光的折射和散射。当光线通过含有彩色颗粒的牛奶时,不同颜色的光被不同颗粒以不同的程度散射和折射。由于每种颜色的光波长不同,它们被散射和折射的角度也不同,因此在观察时,我们会看到由于光的散射和折射而形成的彩色环。

12.植物蒸腾作用实验

材料:

一株绿色植物、透明塑料袋、橡皮筋。

步骤:

将透明塑料袋套在植物的枝条上,并用橡皮筋固定。将植物放在阳光下照射几个小时。然后观察塑料袋内壁,你会看到有小水珠凝结,这是植物蒸腾作用产生的水蒸气遇冷凝结而成。

13.自制非牛顿流体实验

材料:

玉米淀粉、水、碗、勺子。

步骤:

将玉米淀粉和水以大约3:2的比例混合在碗中,不断搅拌直至形成浓稠的糊状物。现在,尝试用手指轻轻按压这个糊状物,你会发现它像固体一样坚硬;但当你用力快速击打它时,它又会像液体一样流动。

原理:

这种物质被称为非牛顿流体,其粘度会随着受到的力的大小而改变。

14.自制酸碱指示剂实验

材料:

紫甘蓝、水、透明玻璃瓶、过滤器(如纱布)、各种家用酸性或碱性物质(如醋、小苏打、洗洁精等)。

步骤:

将紫甘蓝切碎并放入水中煮沸。用过滤器滤去固体,留下红色的液体。这就是自制的酸碱指示剂。接下来,你可以将指示剂分别滴入不同的酸性或碱性物质中,观察颜色变化。

原理:

紫甘蓝中所含的花青素是一种具有天然抗氧化性的化合物,它在不同pH值的环境下会展现出不同的颜色变化特性。在酸性环境下,花青素呈现红色;而在中性到碱性环境下,花青素则呈现绿色。这种颜色变化是由于花青素的分子结构在不同pH条件下发生了变化。

15.自制潜望镜

材料:

两个长方形镜子、纸筒(如厕纸筒)、胶带、剪刀。

步骤:

将两个镜子以45度角固定在纸筒内部,使它们的反射面相对。现在,你可以通过这个潜望镜看到地面以上的物体,即使你的头部低于物体。

原理:

潜望镜利用两个相互平行的平面镜来实现光线的反射和转向。当光线从一个镜子入射时,它会被反射到另一个镜子上,然后再被反射出去,从而改变光线的传播方向。这样,观察者就可以通过潜望镜看到原本不能直接观察到的物体或景象。

16.彩虹桥实验

材料:

两个透明玻璃杯、水、食用色素、纸巾。

步骤:

在一个杯子中加入水和几滴食用色素。将纸巾的一端放入有色水中,另一端放在另一个空杯子中。等待一段时间,你会发现水通过纸巾“桥”流到了空杯子中,并形成了彩虹般的颜色渐变。

原理:

彩虹桥实验的原理主要基于毛细现象、液体表面张力以及光的折射和反射原理。首先,实验利用毛细现象和液体表面张力。毛细现象是指液体在细管或纤维中上升或下降的现象,而液体表面张力则使液体表面保持尽可能小的面积。在彩虹桥实验中,洗涤剂能够减小液体分子间的凝聚力,使液体分子更容易相互滑过,降低了表面张力。当液体在细管或棉签中流动时,由于棉签纤维之间的空隙,液体也会在纤维之间流动,形成毛细管现象。同时,液体在细管两侧形成高度差,这是由于表面张力的作用,从而在细管两侧形成了一座“液体桥梁”。其次,光的折射和反射也在这个实验中起到了关键作用。当光从一种介质(如空气)进入另一种介质(如水)时,它的传播方向会发生改变,这就是光的折射。在彩虹桥实验中,光线从空气通过液体桥梁进入水或其他液体时,会发生折射。不同波长的光具有不同的折射率,因此它们会被分散并按颜色排列。同时,当光线撞击到液体表面时,也会发生反射现象。这些折射和反射的光线相互作用,形成了我们看到的美丽彩虹桥效果。

17.自制简易温度计

材料:

透明塑料瓶、红色食用色素、吸管、水、胶带。

步骤:

在吸管中注入几滴红色食用色素,然后用水填满吸管。将吸管的一端用胶带固定在塑料瓶盖上,确保吸管中的水柱不会流出。现在,将这个“温度计”放入不同温度的水中,观察水柱的移动。温度越高,水柱上升得越高。

原理:

自制温度计的原理主要基于热胀冷缩的现象。当物体受热时,其分子会加速运动,导致物体体积膨胀;而当物体受冷时,其分子运动减缓,导致物体体积收缩。通过测量物体的体积变化,我们可以推断出物体的温度变化。

18.光的折射与全反射实验

材料:

透明玻璃罐、水、激光笔或手电筒。

步骤:

在玻璃罐中注满水,然后将激光笔或手电筒的光束斜射入水面。观察光束在水中的折射现象。接着,尝试将光束以更大的角度射入水面,观察全反射现象的发生。

原理:

光的折射与全反射实验的原理主要基于物理学中的光学原理。首先,光的折射原理是当光从一种介质斜射入另一种介质时,其传播方向会发生改变,这是由于光在不同介质中的传播速度不同所导致的。在折射过程中,光线在两种介质的交界处发生偏折,遵循斯涅尔定律,即入射角与折射角之间存在一定的关系,这个关系由两种介质的折射率决定。其次,全反射是一种特殊的折射现象,它发生在光从光密介质(折射率较大的介质)射入光疏介质(折射率较小的介质)时。当入射角增大到某一特定角度(临界角)时,折射光线将完全消失,只剩下反射光线,这就是全反射现象。全反射的产生需要满足两个条件:一是光必须由光密介质射向光疏介质;二是入射角必须大于临界角。

19.自制简易电池

材料:

柠檬或土豆、铜币、镀锌钉、导线、小灯泡或LED灯。

步骤:

将铜币和镀锌钉分别插入柠檬或土豆中,确保它们不接触。用导线将铜币和镀锌钉连接起来,再将导线的另一端连接到小灯泡或LED灯上。观察灯泡或LED灯是否亮起,这表示你成功制作了一个简易电池。

原理:

用土豆或柠檬做电池的原理主要基于化学反应产生电能。以土豆为例,它提供了电池所需要的酸液,而金属如锌(或铜、铁、锡等)作为电极。当这两种金属同时处于土豆的酸液中时,金属锌(或其他更活泼的金属)会失去电子,这些失去的电子会沿着导线传递到铜片(或其他较不活泼的金属)上,从而形成了电流。每个土豆大约能产生0.5V的电压和0.2mA的电流。同样,柠檬电池的原理也类似。柠檬中的柠檬酸与金属(如锌和铜)接触时,会发生化学反应。当锌片和铜片分别插入柠檬中时,柠檬酸与锌发生反应,产生氢气和锌离子,而铜片则充当电子的导体,接收锌离子释放出的电子,形成电流。

20.自制彩虹投影仪

材料:

透明塑料盘、白色卡片、水、镜子、手电筒。

步骤:

在塑料盘中注入水,并将镜子斜放在盘边,使镜子能够反射盘中的水。将白色卡片放在镜子对面,与镜子保持一定距离。打开手电筒,将光束照射在盘中的水面上。观察白色卡片上出现的彩虹投影。

原理:

首先,当光线从一个介质(如空气)进入另一个介质(如透明塑料盘或镜子)时,会发生折射现象。折射是光线在两种不同介质之间传播时,由于速度变化而改变传播方向的现象。在这个实验中,透明塑料盘或镜子的不同部分可能具有不同的折射率,导致光线在经过它们时发生不同角度的折射。其次,当光线照射到物体表面时,会发生反射现象。反射是光线在物体表面按照“入射角等于反射角”的规律改变方向并返回的现象。在彩虹投影实验中,光线在透明塑料盘或镜子表面发生反射,部分光线被反射回我们的眼睛。最后,白色卡片能够捕捉到这些经过折射和反射的光线。由于透明塑料盘或镜子对光的折射作用,不同颜色(波长)的光会以不同的角度折射和反射。这些不同颜色的光线在白色卡片上交汇,形成了彩虹的效果。白色卡片之所以能够呈现出彩虹投影,是因为它能够均匀地反射和散射这些不同颜色的光线,使得我们可以清晰地看到彩虹的色彩。

高中数学8大模块内容归纳总结记忆口诀

一、《集合与函数》

内容子交并补集,还有幂指对函数。性质奇偶与增减,观察图象最明显。
复合函数式出现,性质乘法法则辨,若要详细证明它,还须将那定义抓。
指数与对数函数,两者互为反函数。底数非1的正数,1两边增减变故。
函数定义域好求。分母不能等于0,偶次方根须非负,零和负数无对数。
正切函数角不直,余切函数角不平;其余函数实数集,多种情况求交集。
两个互为反函数,单调性质都相同;图象互为轴对称, Y = X 是对称轴
求解非常有规律,反解换元定义域;反函数的定义域,原来函数的值域。
幂函数性质易记,指数化既约分数;函数性质看指数,奇母奇子奇函数,奇母偶子偶函数,偶母非奇偶函数;图象第一象限内,函数增减看正负。

二、《三角函数》

三角函数是函数,象限符号坐标注。函数图象单位圆,周期奇偶增减现。
同角关系很重要,化简证明都需要。正六边形顶点处,从上到下弦切割
中心记上数字1,连结顶点三角形;向下三角平方和,倒数关系是对角,
顶点任意一函数,等于后面两根除。诱导公式就是好,负化正后大化小,
变成税角好查表,化简证明少不了。二的一半整数倍,奇数化余偶不变,
将其后者视锐角,符号原来函数判。两角和的余弦值,化为单角好求值,
余弦积减正弦积,换角变形众公式。和差化积须同名,互余角度变名称。计算证明角先行,注意结构函数名,保持基本量不变,繁难向着简易变。逆反原则作指导,升幂降次和差积。条件等式的证明,方程思想指路明。
万能公式不一般,化为有理式居先。公式顺用和逆用,变形运用加巧用1
加余弦想余弦,1减余弦想正弦,幂升一次角减半,升幂降次它为范
三角函数反函数,实质就是求角度,先求三角函数值,再判角取值范围

利用直角三角形,形象直观好换名,简单三角的方程,化为最简求解集

三、《不等式》

解不等式的途径,利用函数的性质。对指无理不等式,化为有理不等式。
高次向着低次代,步步转化要等价。数形之间互转化,帮助解答作用大。
证不等式的方法,实数性质威力大。求差与0比大小,作商和1争高下。
直接困难分析好,思路清晰综合法。非负常用基本式,正面难则反证法。
还有重要不等式,以及数学归纳法。图形函数来帮助,画图建模构造法。

四、《数列》

等差等比两数列,通项公式 N 项和。两个有限求极限,四则运算顺序换。
数列问题多变幻,方程化归整体算。数列求和比较难,错位相消巧转换,
取长补短高斯法,裂项求和公式算。归纳思想非常好,编个程序好思考:
一算二看三联想,猜测证明不可少。还有数学归纳法,证明步骤程序化:
首先验证再假定,从 K 向着 K 加1,推论过程须详尽,归纳原理来肯定。

五、《复数》

虚数单位 i 一出,数集扩大到复数。一个复数一对数,横纵坐标实虚部。
对应复平面上点,原点与它连成箭。箭杆与 X 轴正向,所成便是辐角度。
箭杆的长即是模,常将数形来结合。代数几何三角式,相互转化试一试。
代数运算的实质,有 i 多项式运算。i 的正整数次慕,四个数值周期现。
一些重要的结论,熟记巧用得结果。虚实互化本领大,复数相等来转化。
利用方程思想解,注意整体代换术。几何运算图上看,加法平行四边形,
减法三角法则判;乘法除法的运算,逆向顺向做旋转,伸缩全年模长短。
三角形式的运算,须将辐角和模辨。利用棣莫弗公式,乘方开方极方便。
辐角运算很奇特,和差是由积商得。四条性质离不得,相等和模与共轭,
两个不会为实数,比较大小要不得。复数实数很密切,须注意本质区别。

六、《排列、组合、二项式定理》

加法乘法两原理,贯穿始终的法则。与序无关是组合,要求有序是排列。
两个公式两性质,两种思想和方法。归纳出排列组合,应用问题须转化。
排列组合在一起,先选后排是常理。特殊元素和位置,首先注意多考虑。
不重不漏多思考,捆绑插空是技巧。排列组合恒等式,定义证明建模试。
关于二项式定理,中国杨辉三角形。两条性质两公式,函数赋值变换式。

七、《立体几何》

点线面三位一体,柱锥台球为代表。距离都从点出发,角度皆为线线成。
垂直平行是重点,证明须弄清概念。线线线面和面面、三对之间循环现。
方程思想整体求,化归意识动割补。计算之前须证明,画好移出的图形。
立体几何辅助线,常用垂线和平面。射影概念很重要,对于解题最关键。
异面直线二面角,体积射影公式活。公理性质三垂线,解决问题一大片。

八、《平面解析几何》

有向线段直线圆,椭圆双曲抛物线,参数方程极坐标,数形结合称典范。
笛卡尔的观点对,点和有序实数对,两者一一来对应,开创几何新途径。
两种思想相辉映,化归思想打前阵;都说待定系数法,实为方程组思想。
三种类型集大成,画出曲线求方程,给了方程作曲线,曲线位置关系判。
四件工具是法宝,坐标思想参数好;平面几何不能丢,旋转变换复数求。
解析几何是几何,得意忘形学不活。图形直观数入微,数学本是数形学。

新高考重点专题:二项分布与超几何分布8大考点超详解析

二项分布与超几何分布

      在高考概率题型中,二项分布和超几何分布是两个非常重要的概率模型,它们在解决实际问题中发挥着关键作用。其中,二项分布描述的是固定次数的独立实验中,成功的次数的概率分布。而超几何分布则描述的是不返回抽样问题,即从有限的总体中抽取一定数量的样本时,其中含有特定种类的数量的概率分布。在解题过程中,正确地区分题目条件是否涉及到放回或不放回抽样是解决超几何分布和二项分布问题的关键。掌握这两个分布的定义、性质和计算方法,对于提高学生的逻辑思维能力和解决复杂问题的能力具有重要意义。这也是高中数学教育中强调概率统计部分的原因之一。

要点梳理

一、n次独立重复试验

在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验. 

特点:

1.各次之间相互独立; 

2.每一次试验只有两种结果,即要么发生,要么不发生; 每一次试验中各事件发生的概率都是一样的.

二、二项分布

三、超几何分布

四、二项分布和超几何分布区别和联系

1.  二项分布是放回抽样问题,在每次试验中某一事件发生的概率是相同的,而超几何分布是不放回抽样问题,在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的。

2. 二项分布不需要知道总体的容量,而超几何分布需要知道总体的容量;

3. 当总体的容量非常大时,超几何分布近似于二项分布。

共有哪些考点呢?

考点一:n重伯努利试验的辨析

考点二:利用二项分布求概率

考点三:二项分布的分布列

考点四:二项分布的期望与方差

考点五:超几何分布的辨析

考点六:超几何分布的分布列、期望和方差

考点七:二项分布与超几何分布的综合应用

考点八:服从二项分布的随机变量概率最大问题

全概率公式/贝叶斯公式/条件概率

1、全概率公式  

在讲全概率公式之前,首先要理解什么是“样本空间的划分”【又称“完备事件群”。】 我们将满足

  这样的一组事件称为一个“完备事件群”。简而言之,就是事件之间两两互斥,所有事件的并集整个样本空间(必然事件)。

样本空间的划分

全概率公式

 注:全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.

例1:有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的占30%,二厂生产的占50%,三厂生产的占20%,又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?

2、  贝叶斯公式

编外话:这就是为什么体验时,医生让体验者复查的原因(以后不要说数学没用啊)。

3、条件概率

二项分布与超几何分布的联系与区别

经常有学生问二项分布与超几何分布到底怎么区分,是利用二项分布的公式去解决这道概率题目,还是利用超几何分布公式解决呢?

    好多学生查阅参考书寻找答案,其实这个问题的回答就出现在教材上, 北师大版新课标教材选修2-3从两个方面给出了很好的解释. 

一 、两者的定义是不同的

教材中的定义:

1、超几何分布

2、独立重复试验与二项分布

本质区别:

(1) 超几何分布描述的是不放回抽样问题,而二项分布描述的是放回抽样问题.

(2) 超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题;二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题.


二、两者之间是有联系的

     从以上分析可以看出两者之间的联系:当调查研究的样本容量非常大时,在有放回地抽取与无放回地抽取条件下,计算得到的概率非常接近,可以近似把超几何分布认为是二项分布.

下面看相关例题

例1.(2016·漯河模拟)寒假期间,我市某校学生会组织部分同学,用“10分制”随机调查“阳光花园”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名,如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶),若幸福度分数不低于8.5分,则称该人的幸福度为“幸福”.

     注:先不要急于看答案,大家先自己解一下这道题再往下看,会有意想不到的收获哦!

    [错解分析]第二问的选人问题是不放回抽样问题, 按照定义先考虑超几何分布,但是题目中又明确给出:“以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据,从该社区(人数很多)任选3人”,说明不是从16人中任选3人,而是从该社区(人数很多)任选3人,所以可以近似看作是3次独立重复试验,应该按照二项分布去求解,而不能按照超几何分布去处理.

柳暗花明又一村

从以上解题过程中我们还发现,错解中的期望值与正解中的期望值相等,好多学生都觉得不可思议,怎么会出现相同的结果呢?其实这还是由于前面解释过的原因,超几何分布与二项分布是有联系的,看它们的期望公式:

总结

     综上可知,当提问中涉及“用样本数据来估计总体数据”字样的为二项分布。

    高考解题中,我们还是要分清超几何分布与二项分布的区别,以便能正确的解题,拿到满分!

高中数学中的基本不等式有关题型与常见解题技巧

基本不等式这个小考点的重要性不用多说。

今天直接给大家归纳一些常见结论、题型及其解题技巧!

常考结论及其公式

结论一:基本不等式与最值

结论二:基本不等式的几个相关结论

结论三:常数代换法求最值的步骤及通法

(1)常数代换法求最值的步骤:

①根据已知条件或其变形确定定值(常数);

②把确定的定值(常数)变形为1;

③把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积为定值的形式;

④利用基本不等式求解最值.

(2)常数代换法求最值适用的题型及解题通法:

重难点题型归纳与精讲

题型一 利用基本不等式比较大小

总结:本题主要考查用重要不等式证明不等式,应用不等式性质判断不等式是否成立,属于中档题.

题型二 基本不等式常见结论的基本运用

总结:这类题型主要直接利用基本不等式或者相关的几个小结论来直接解题,属于基本题型。

题型三 利用构造法转化为基本不等式求最值

总结:这道例题主要考查了基本不等式,考查了学生的计算能力,正确运用基本不等式是关键,属于比较难得题目.

题型四 换元法或消元法构造基本不等式求最值

总结:对于换元法或者利用消元法来构造基本不等式的题型属于较难的题型,难度较大,尤其是换元法,往往同学们不知道从何入手,涉及到多变量的不等式。

题型五 复杂的基本不等式综合运用

总结:这类题型综合性较强,往往题目的形式与特征较为复杂且不太常见,对于大多数同学们来说比较新颖。

题型六 利用基本不等式证明不等式

总结:这类证明问题也是比较重要的,它的存在形式可以暗藏于多选题目中,难度较大,请同学们多加小心!

题型七 基本不等式连续使用问题

总结:用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:

(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;

(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方,注意多次运用不等式,等号成立条件是否一致.

题型八 利用基本不等式解决恒成立问题

总结:不等式的恒成立问题是高考数学的重难点,有些时候不等式的恒成立问题可以通过分离变量法转化为一端的代数式求最值问题,部分题目就有可能会用到基本不等式求最值。

题型九 基本不等式实际应用问题

总结:同学们在求实际应用问题时,一定要多加注意变量在具体实际问题背景中的范围。注意基本不等式应用的三个条件!

题型十 基本不等式的创新问题

总结:这类问题创新性非常强,灵活多变,不易把握,但是有利于同学应对每年高考中的创新问题,值得大家重视和多多训练!

最后,同学根据总结的这十大题型,多多反思,相信通过一定的专项训练,你一定会早日掌握基本不等式这个重难点的。

要讲究数学学习方法

苏步青|撰文

我常收到一些中学生来信,谈及学习中遇到的种种问题。可以看出,这些同学都有一股强烈的求知欲,也想使自已的成绩出众,然而成绩总是提不上去。他们不服气,因为论努力的程度,并不亚于成绩比自己好的同学。成绩不佳的原因是多方面的,但从来信中谈到的情况看,不讲究学习方法,不重视打好基础,恐怕也是学习成绩差的原因之一。

常言道,过河需要有桥,学习不能不注意学习方法。一般说来,学习成绩好的同学,大多数都能联系自己的实际情况,讲出几种行之有效的学习方法,譬如解题时要注意审题,运算当中要防止粗枝大叶,演算要多采用几种方法,得出结果之后应该验算等等。同学们可以学习别人的好方法,也可以靠自己在学习中开动脑筋,不断摸索和积累新的方法。但我总觉得,在研究学习方法时,一定不要忘记打好基础和改进学习方法之间的关系。这篇短文不可能细谈具体的某个学习方法,我只想针对同学中提出的一两个较普遍的问题,谈谈自己的看法。

“我看到题目,自己想不出解题的方法,当别人稍加提示,就能做出来。”有的同学来信询问,这究竟是个什么问题?依我看,这主要是基础知识掌握得不扎实,对概念和定理没有真正弄懂。

我们为什么要演算习题呢?第一,是为了加深对书本中的基本概念、定义和定理的理解,这是主要的。第二,也是为了训练我们的运算技巧和逻辑思维。这虽是次要的,但是必不可少的。做习题,对于加深理解和提高运算技巧、逻辑思维都是有利的。但必须指出,光靠演算习题而忽视学深学透教科书中的基本概念、定义、定理(包括证明)肯定是学不好数学的。

所以,我们在解题时,首先要看清楚这道题包含了哪些基础知识,会用到哪几个公式或定理,然后从某个公式或定理下手,一步步将题解出来。有的同学需要别人提示才能做出来,这就是自己不知从何处下手,需要别人给予具体的指点,说明他对需要运用的定理或公式没有真正弄懂,在使用中要么无从下手,要么下了手把题目解错了。由此可见,在学习中我们必须反对不懂装懂的不良学风,懂就懂,绝对不能使用“不太懂”这类含糊其词的话来对待学习。

“我做习题,单个的定理或公式的运用,还可以,一遇到综合性的题目,就怎么也想不出解题的办法。”这毛病又出现在哪呢?我认为,这些同学对定理或公式虽然懂了,但这大多是靠死记硬背的,对这些定理之间的内在联系缺乏了解,更没有达到融会贯通的程度,这应当说是不熟的毛病。定理怎么可以靠死记硬背来掌握呢?

我们要学好数学,这个“学好”,我理解是把算术、代数、几何、三角这几门基础学科的内容,即教科书内容包括其中所有习题学得深透,演算得烂熟,真正做到没有一个定理不会证,没有一个习题不会做的程度。这样,遇到综合题,就能把几个单一的定理公式融会贯通起来思考,再加上熟能生巧,综合题就不难解出来了。

当然,要达到这样的程度,这并不是显而易得的事。譬如有的平面几何题目,在运算解题中需要画一条辅助线,这条线画在什么地方大有讲究,这确实是有一定的难度。画准了,一下子就能解出来,画不准,就可能解不出来,即使解出来,也可能是错误的答案。那么,怎样才能有把握一画即准呢?这就要靠平时的锻炼。按类型来练,演算多了,积累的经验也就丰富了。

从另一个方面来说,演算习题还要经受失败的考验。有的同学一发现解不出,就不肯多动脑筋,总希望别人指点,这样自己就缺乏独立解题的能力,稍为难点的题目就望而生畏,缩手缩脚,这也是不利于解题能力的。所以,从某种意义上说,经过自己解出的题目,尽管时间多花了一点,但对定理和公式的理解和运用,印象就深刻得多了。

“我的脑子笨,也许不是学数学的料子。”有的同学在解题中多次碰到困难之后,往往容易产生悲观情绪和无所作为的思想。有的同学则显得非常急躁,到处求师,希望能得到一套现成的学习方法,使他在几天之内变聪明起来,学习成绩一下子提上去。这种想法是不现实的。因为学习这东西,是有其规律性的,必须由浅入深,由易到难,由低到高,循序渐进。别人的学习方法是他自己总结出来的,是针对他自己的情况而定的。别人的好方法,不能生搬硬套。

目前学习成绩较差的同学不要悲观,不要性急,须知,欲速则不达。正确的态度是,既向同学学习好方法,为我所用,更重要的是,要下决心,从打基础抓起,一点一滴,扎扎实实,把所学的定理、公式及其证明真正搞懂,弄熟,这样也许时间多花了,效果也许慢了一点,但提高学习成绩的效果也许会明显一点。

作者简介

苏步青,著名数学家,教授。1902年9月23日生于浙江省平阳县北港带溪村。早在中学读书时,他便勤奋好学,酷爱数学。中学四年演算了上万道数学题,各科平均成绩也名列全班第一。中学毕业后,于1919年到日本留学。年仅十七岁的苏步青以优异的数学成绩考入了日本的名牌大学—东京高等工业学校电机科学习,1924年毕业又考取日本东北帝国大学数学系。当时该系只招九名学生,他的考试成绩突出,《微积分》和《解析几何》都得了一百分。在日本帝大学习期间,入学仅两年半,便于1926年在日本学士院学报上发表了他的第一篇著名数学论文《某个定理的扩充》,轰动了全校。1927年获理学士学位,此后又连续发表三十多篇论文。1927年由东北帝大数学系毕业后进入该校研究院,为著名数学家窪田忠彦教授的研究生。在微分几何研究方面取得了明显的成果,于1931年获得理学博士学位。1931年回国后到浙江大学历任数学系教授、系主任。自1952年起一直任复旦大学教授,先后担任副校长、校长等职务。1958年他创办复旦大学数学研究所,兼任所长选今。现任全国人大常务委员、民盟中央副主席、中国数学会名誉理事长,还担任中国科学院数学物理学学部委员、全国人大教科文卫专门委员会副主任及《数学年刊》主编等职务。现为中国共产党党员。苏步青教授自1927年以来,先后在国内外学术刊物上发表了150多篇数学研究论文,还出版了多种微分几何专著:《射影曲线概论》、《一般空间微分几何学》、《射影曲面概论》、《射影共轭网概论》、《微分几何五讲》、《计算几何》、《仿射微分几何》等。 并已汇编出版《苏步青数学论文选集》。近几年来,他将计算几何的理论应用于航空、造船、汽车制造工业,取得了可喜的成果。他不仅是一位成绩卓著的数学家,自成微分几何学派,而且又是一位知名的教育家,半个多世纪以来,为祖国培养出一批又一批的科学人才做出了重大贡献。

本文整理于《数学家谈怎样学数学》(黑龙江教育出版社,1986年),原题为“要讲究学习方法”。